Стереометрия: определения углов, расстояний и признаки параллельности/перпендикулярности
Углы в стереометрии
1) Угол между прямой и плоскостью определение
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Диапазон: 0° ≤ γ ≤ 90°.
- γ = 0° ⇒ прямая параллельна плоскости.
- γ = 90° ⇒ прямая перпендикулярна плоскости.
2) Угол между скрещивающимися прямыми определение
Это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся.
3) Двугранный угол и угол между плоскостями определение
Двугранный угол измеряют величиной его линейного угла, полученного сечением плоскостью, перпендикулярной ребру.
- двугранный угол ∈ (0°; 180°);
- угол между плоскостями ∈ (0°; 90°];
- между параллельными плоскостями = 0°.
- Найти линию пересечения плоскостей.
- В каждой плоскости построить перпендикуляр к линии пересечения.
- Выделить плоскую фигуру с линейным углом.
- Решить планиметрическую задачу.
4) Напоминание: «дальше — планиметрия» справочно
После построений обычно остаются Пифагор, синусы/косинусы, тригонометрия, площадь треугольника и т.п.
Признаки параллельности и перпендикулярности
1) Прямая ‖ плоскость признак
Если прямая не принадлежит плоскости и параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.
2) Прямая ⟂ плоскость признак
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
3) Плоскости ‖ признак
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
4) Плоскости ⟂ признак
Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.
5) Теорема о трёх перпендикулярах ключевая
Пусть из точки A к плоскости α опущен перпендикуляр AH, AB — наклонная, а HB — её проекция на α. Тогда прямая в плоскости α, проходящая через H и перпендикулярная HB, будет перпендикулярна наклонной AB.
6) Мини-памятка «что проверять»
- a ⟂ α: есть ли две пересекающиеся прямые в α, к которым a ⟂?
- b ∥ α: есть ли прямая a ⊂ α, параллельная b?
- α ⟂ β: есть ли прямая в одной плоскости, перпендикулярная другой?
- угол α и β: нашли ли линию пересечения и перпендикуляры к ней?
Расстояния в стереометрии
1) Обозначение расстояния ρ(M;F)=m
M — точка, F — фигура, m — расстояние от точки M до фигуры F.
2) Между двумя точками определение
Длина отрезка, соединяющего эти точки.
3) От точки до прямой определение
Длина перпендикуляра из точки к прямой.
4) От точки до плоскости определение
Длина перпендикуляра из точки на плоскость.
- метод нахождения общего перпендикуляра;
- метод параллельной прямой и плоскости;
- метод параллельных плоскостей.
5) Между скрещивающимися прямыми определение
Длина их общего (взаимного) перпендикуляра.
- Метод «прямая–плоскость»: плоскость через одну прямую ∥ другой; расстояние = расстояние от точки второй прямой до плоскости.
- Метод «параллельные плоскости»: заключить прямые в параллельные плоскости; найти расстояние между плоскостями.
Карточки
Нажмите на карточку, чтобы увидеть ответ. Перед тренажёром сделайте 1–2 быстрых повторения.
Режимы
Выберите режим слева
Страницы из файла
Лучшие результаты
Короткий план закрепления
- Прочитать карточки (2–3 минуты).
- Пройти тест до конца, если есть ошибки — перечитать блок теории.
- Верно/неверно.
- Сопоставление .