Степени с рациональными и действительными показателями

Теория

1) Что вспоминаем

Пусть a>0 (и где нужно — b>0). Тогда:

Одинаковое основание: a^p·a^q=a^p+q, a^p/a^q=a^p-q.
Степень степени: (a^p)^q=a^pq.
Произведение/дробь: (ab)^p=a^pb^p, (a/b)^p=a^p/b^p.
Отрицательный показатель: a^-p=1/a^p.

2) Рациональный показатель

Определение (из учебника).

Для a>0, целого m и натурального n≥2 вводится степень a^m/n по правилу

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {\sqrt[n]{a}}^{m}$

При чётном n корень в вещественных числах определён только при a≥0. В этой теме считаем a>0, чтобы свойства работали без оговорок.

3) Действительный показатель

Для любого действительного x при a>0 число a^x определяется так, чтобы все правила из п.1 сохранялись и функция была непрерывной. В заданиях просто применяем те же свойства.

Мини‑примеры

$32^{\frac{2}{5}} = {\sqrt[5]{32}}^{2} = 4$
$16^{\frac{- 3}{4}} = \frac{1}{{\sqrt[4]{16}}^{3}} = \frac{1}{8}$
$9^{\frac{3}{2}} = {\sqrt{9}}^{3} = 27$

Песочница

a^m/n ↔ корень n‑й степени

Основание a (a>0): Числитель m: Знаменатель n (≥2):

Значение:

Тренажёр

Выберите правильный ответ (20 вопросов)

Счёт: 0