Площади треугольников — интерактивное пособие

Обзор
Основные формулы площади треугольника Справочник
Формулы сгруппированы по тому, какие данные известны: стороны, высоты, углы, радиусы окружностей. Это удобно использовать как «карту выбора» при решении задач.
1. Через основание и высоту
\[ S = \frac12 a h_a \]
Известны основание a и высота, опущенная к нему, h_a.
a h_a
2. Через две стороны и угол между ними
\[ S = \frac12 ab\sin\gamma \]
Известны две стороны a и b и угол между ними gamma.
a b γ
3. Прямоугольный треугольник
\[ S = \frac12 c_1 c_2 \]
Для прямоугольного треугольника с катетами c1 и c2. По сути, это частный случай формулы «основание–высота».
c1 c2
4. Формула Герона (по трём сторонам)
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2} \]
Работает, когда известны три стороны a, b, c. Полупериметр p считается по формуле выше.
a b c p = (a + b + c) / 2
5. Через вписанную окружность
\[ S = pr \]
Известны полупериметр p и радиус вписанной окружности r.
r p — полупериметр
6. Через описанную окружность
\[ S = \frac{abc}{4R} \]
Известны три стороны a, b, c и радиус описанной окружности R.
R
7. Равносторонний треугольник
\[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]
Все стороны равны a. Формула получается из высоты равностороннего треугольника.
a a a
Выбор формулы
Сопоставление условия и формулы Структурирование
Для каждой ситуации выберите наиболее естественную формулу площади.
Даны основание треугольника и высота, опущенная к этому основанию.
Даны две стороны треугольника и угол между ними.
Известны только три стороны треугольника, никаких углов и высот не даны.
Известен периметр треугольника и радиус вписанной окружности.
Известны три стороны треугольника и радиус описанной окружности.
Разминка
Простейшие вычисления площади Для ввода формул
Здесь важна не сложность, а автоматизм работы с формулами.
Задача 1
В треугольнике основание равно 8 см, высота к этому основанию — 5 см. Найдите площадь.
Задача 2
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 3 см. Найдите площадь.
Задача 3
Стороны треугольника равны 5 см и 7 см, угол между ними равен 60 градусов. Найдите площадь, используя формулу S = 1/2 · a · b · sin(gamma).
Точный ответ: (35·√3)/4.
Итог
Итоговый тренажёр Средний и повышенный уровень
Для каждой задачи:
  1. Выберите формулу, которая в данной ситуации наиболее естественна.
  2. Продумайте план решения: какие величины нужно найти по пути.
  3. Найдите требуемую величину (площадь или другую указанную величину).
Числовые ответы можно округлять до сотых. Проверяется и выбор формулы, и ответ.
Задача 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, один из катетов равен 5 см. Найдите площадь треугольника. Подсказка по плану: сначала найдите второй катет по теореме Пифагора, затем используйте формулу площади прямоугольного треугольника.
Задача 2
Равнобедренный треугольник имеет боковые стороны по 13 см и основание 10 см. Найдите его площадь. План: опустите высоту к основанию (она разделит основание пополам), найдите высоту по теореме Пифагора, затем используйте формулу S = 1/2 · a · h_a.
Задача 3
Стороны треугольника равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите его площадь, используя формулу Герона. План: сначала найдите полупериметр p, затем вычислите S по формуле.
Задача 4
В треугольнике две стороны равны 7 см и 9 см, периметр треугольника равен 30 см. Радиус вписанной окружности равен 3 см. Найдите площадь треугольника. План: по периметру найдите третью сторону, затем полупериметр p, затем используйте формулу S = p · r.
Задача 5
В треугольнике две стороны равны 10 см и 13 см, угол между ними равен 30 градусов. Найдите высоту, опущенную на сторону длины 10 см. План: сначала найдите площадь по формуле S = 1/2 · a · b · sin(gamma), затем выразите высоту из формулы S = 1/2 · a · h_a.
Задача 6
В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанной окружности. План: сначала найдите площадь треугольника, затем используйте формулу S = a · b · c / (4R), выразив из неё R.
Задача 7
Периметр равностороннего треугольника равен 18 см. Найдите его площадь. План: сначала найдите сторону треугольника, затем используйте формулу S = a²·√3 / 4.
Точный ответ: 9·√3 ≈ 15.59.