Основные свойства степеней
1. \( a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n} \)
2. \( \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \), при \(a\ne 0\)
3. \( (a^{m})^{n} = a^{mn} \)
4. \( (ab)^{m} = a^{m}b^{m} \), \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}\), при \(b\ne 0\)
5. Дробная степень: \( a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = (\sqrt[q]{a})^{p} \). Для натурального \(q>1\) и \(a\ge 0\) (в рамках школьной программы).
Самый важный приём
Если в выражении встречается дробная степень, старайтесь представить основание как степень простого числа. Тогда можно применить свойство \((a^{m})^{n}=a^{mn}\) и упростить вычисления.
Пример. Вычислить \(32^{0.2}\). Представим основание как \(32=2^{5}\). Тогда
\[
32^{0.2}=(2^{5})^{0.2}=2^{5\cdot 0.2}=2^{1}=2.
\]
Ответ: 2.