12 тип. Производная дроби

Теория → 4 упражнения (перетаскивание в числитель/знаменатель) → тренажёр (12 примеров с проверкой и решениями).

1)Формула

\[ \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^{2}} \]
Пояснение: «Верх штрихуем — низ оставляем, минус, верх оставляем — низ штрихуем, низ в квадрате».

2) Алгоритм

  1. Назначь: \(f\) — числитель, \(g\) — знаменатель.
  2. Найди отдельно \(f'\) и \(g'\).
  3. Собери числитель: \(f'\cdot g - f\cdot g'\) (порядок не меняем!).
  4. В знаменателе всегда \(g^2\).
  5. Только потом упрощай.

3) Примеры

Пример A

\[ y=\dfrac{x^2+289}{x} \]

Шаг 1. \(f=x^2+289 \Rightarrow f'=2x\), \(g=x \Rightarrow g'=1\)

Шаг 2. \[ y'=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+289)\cdot 1}{x^2} \]

Шаг 3. \[ y'=\dfrac{x^2-289}{x^2} \]

Пример B

\[ y=\dfrac{x^2+1}{x} \]

\[ y'=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2} \]

Пример C

\[ y=\dfrac{x^2+25}{x} \]

\[ y'=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+25)}{x^2}=\dfrac{x^2-25}{x^2} \]